1. Vilken rest fås om talet 123123...123 (där 123 upprepas 64 gånger) delas med 7?
2. En gräshoppas hoppar runt bland hörnen på en kub på så sätt att den vid varje hopp flyttar sig till ett intilliggande hörn (längs en kant). Kan gräshoppan med 64 hopp förflytta sig från ett hörn A till ett intilliggande hörn B?
3. Vid slutet av terminen räknade lärarinnan samman antalet treor, fyror och femmor hos var och en av sina 25 elever. Det visade sig att alla elever hade minst ett av varje betyg. Det fanns 10 elever som inte hade lika många treor som fyror, medan fem elever hade samma antal treor som femmor. Visa att det finns minst 10 elever som inte har samma antal fyror som femmor.
4. Fyra bilar A, B, C och D startar samtidigt från en och samma punkt på en cirkelformad bilbana. De första två kör medsols, och de andra motsols, och alla bilar håller konstanta (eventuellt olika) hastigheter. Det första mötet mellan bilarna A och C äger rum samtidigt som B och D möts för första g˚ngen. Visa att A och B kommer att ligga jämsides för första gången samtidigt som C och D gör det.
5. Sedan många år går baron Munchhausen dagligen till sjön for att jaga änder. Från och med den 1 augusti 1996 säger han varje dag till sin kock: " Idag har jag skjutit fler änder än i förrgår, men färre än för fyra dagar sedan." I hur många dagar kan baronen fortsatta att yttra denna mening? (Tänk på att Munchhausen aldrig ljuger.)
6. Man har två vågar, en korrekt och en trasig (vars vågskålar hänger olika även utan vikter), samt tre likadana mynt, två ¨kta och ett falskt (med fel vikt). Hur kan man med hjälp av vågarna avgöra vilket mynt som är falskt?
7. Ett antal hockeyspelare gick över från Spartak till Dynamo. Kan detta ha medfort att genomsnittsåldern steg i bägge lagen?
8. Summan av omkretserna hos ett antal kvadrater är 1 meter. Kan summan av deras areor vara mindre än 1 dm^2?
Detta är åtta problem från en tävling för ryska sjätteklassare (12-13 år) och den hölls i Leningrad 1986.
1. Den nya schackpjäsen Krokodilen fungerar nästan som springaren, men istället för att röra sig en ruta i någon riktning och sedan två steg vinkelrät mot denna riktning, så rör den sig ett steg i någon riktning (horisontellt eller vertikalt) och sedan n rutor vinkelrät. Finn alla n sådana att Krokodilen kan nå alla rutor från vilken som helst annan.
2. Talen p och 2p+p^2 är primtal. Finn p.
3. Kan kuben på ett naturligt tal sluta med 1985 ettor?
4. Bevisa att man alltid kan välja tre diagonaler bland diagonalerna i en konvex pentagon så att de tillsammans bildar en triangel.
5. Rutorna på ett n x (n+1)-bräde är fyllda med heltal. Bevisa att man kan välja ut flera kolumner (men inte alla) så att efter denna operation alla radsummor blir jämna.
6. Hur många sätt finns det att representera taler 15 som summan av flera naturliga tal, om vi skiljer på representationer som skiljer sig i ordningen på termerna.
7. Punkt A kallas symmetriskt pseudocenter av mängden M (som innehåller mer än en punkt i planet) om det är möjligt att plocka bort en punkt från M på sådant sätt att A därefter blir symmetriskt centrum. Hur många symmetriska pseudocenter kan en ändlig mängd ha?
8. Trettio tal placeras runt en cirkel så att varje tal blir differensen av de två föjande talen i klockriktningen. Givet att summan av alla dessa tal är 1, finn dem.