Kvalet HMT 2025/2026 är kontrollrättat

2025-12-02

Under den sista helgen i november granskade tävlingsledningen alla de kvaltävlingar som skickats in för kontrollrättning. De sista resultaten sammanställs nu, och finalisterna kommer snart att kontaktas. De skolor som skickade in sina lösningar digitalt kommer också att få kommentarer från kontrollrättningen utskickade.

Totalt 1 076 elever deltog i årets kvaltävling, och totalt 186 resultat hade skickats in för kontrollrättning.

Vår kontrollrättning är som vanligt mycket viktig och vi ser flera problem som många elever stöter på, och knepiga bedömningar som måste gås igenom.

I år, liksom många tidigare år, var det tydligt att motiveringsfärdigheterna hos eleverna är mycket bristfälliga, även om det också syns en tydlig skillnad mellan skolorna.

Vi ser också att många elever kommer fram till lösningar genom "prövning", som de ofta inte redovisar i sina lösningar. Generellt gäller att en lösning som har hittats på det sättet förvisso är en lösning och generellt ger delpoäng, men då eleven inte har uteslutit att problemet skulle kunna ha fler lösningar kan typiskt inte full poäng utgå.

Snittpoängen som presenteras för alla skrivande nedan är baserad på lärarnas initiala rättning. Kommentarerna och snittpoängen för kontrollrättade elever är baserade på kontrollrättningen av de elever som presterat tillräckligt bra i kvaltävlingen för att skickas till kontrollrättning.

Har ni kommentarer eller frågor angående det som står på denna sida kan ni kontakta oss på hmt@matematiktavling.org.

Uppgift 1

Överlag har höga poäng delats ut, delvis genom att kraven på motivering inte var särskilt höga.
Det har dock krävts att samtliga variabler på något sätt definieras (antingen i text eller genom figur), eller att det på något annat sätt framgår varför de olika uträkningarna sker. Helt lösryckta uttryck, som 480/8 eller 180/4, är inte tillräckliga för full poäng.

Snittpoäng bland alla skrivande: 1,75. Snittpoäng för kontrollrättade elever: 2,40.

Uppgift 2

Vanligt att säga att 5 upphöjt till vad som helst slutar på 5, vilket inte gäller generellt (5^0 = 1 till exempel). Vi har också krävt motivering av varför så är fallet. Beroende på motiveringens kvalitet har det givits 1-3 poäng.
Ett vanligt problem är att endast säga att 5*5=25 och därför slutar talet på 5. För att motiveringen skall hålla behövs någon form av generellt resonemang om slutsiffan i en produkt. Vi har sett lite olika varianter på sådana resonemang:
- Att prata om slutsiffror och vad som händer när ett tal en med slutsiffra 5 multipliceras med 5. Dessa motiveringar kan vara mer eller mindre tydliga
- Att använda uttryck för generella tal och visa att slutsiffran alltid är 5
- Att säga att multiplar av 5 alltid slutar på 0 eller 5, beroende på om det är en jämn eller udda multipel.
- Induktionsbevis
Många har feltolkat uttrycket eller använt potenslagarna felaktigt. Detta leder antingen till till 5^24 eller 5^10. 5^10 följs ofta av endast uträkningar utan någon form av resonemang, och detta ger oftast inga poäng. 5^24 är tillräckligt stort för att resonemang behövs, och om resonemanget i övrigt inte använder sig av exponenten på annat sätt än att den är ett positivt heltal så har vi bedömt lösningen utifrån det resonemanget.

Snittpoäng bland alla skrivande: 0,95. Snittpoäng för kontrollrättade elever: 1,38.

Uppgift 3

Denna uppgift visade sig vara mycket svårare än vi hade trott. En trolig orsak är att den intuitiva lösningen med 7mm i mitten ger ett svar som kan se ut att vara korrekt och då är det enkelt att glömma ett av kraven. Vi ser också att flera inte förstått att det regnade i fredagens område under tre dagar trots att det anges tydligt i både texten och bilden.
Poängsättning helt enligt rättningsmallen.
Notera att det endast finns en optimal lösning, samt en icke-optimal lösning då mittenarean är 10. Vi har tyvärr varit tvungna att rätta ner flera svar som vid första anblick kanske sett ut att vara korrekt, men vid närmare studie ej uppfyller kravet.
Många lösningar har fått någon av följande kommentarer tillsammans med 0 poäng:
- Fredag 0mm regn. Missar att det regnar i det området alla tre dagar - Detta är det vanligaste felet, att man endast summerat måndag+torsdag och glömt att lägga på den regnmängd som kom på fredagen (och som därmed inte kan vara 0mm).
- Missar att det regnat måndag och torsdag i fredagens område - Detta ser ut som felet ovan, men det har varit tydligt att man inte beaktat måndagens och torsdagens regn i fredagens område
- Missar att det regnade olika mycket varje dag - Här finns två olika varianter: 1. Fredagens regnmängd blir samma som onsdagens mängd (ofta 5mm). 2. Fredagens regnmängd är samma som torsdagens regn (ofta 4mm).
- Använder Xmm två gånger. - Två summor blir lika. Ofta är det 6mm som använts två gånger.
- Endast svar 9mm. - Problemet efterfrågar alla regnmängder, inte bara mittenarean.
- Tror att det regnade i båda tårtbitarna under fredagen - Några har trott att det på fredagen regnade i både fredagens tårtbit och den motsvarande tårtbiten där onsdagen och torsdagen överlappar.

Snittpoäng bland alla skrivande: 0,17. Snittpoäng för kontrollrättade elever: 0,48.

Uppgift 4

Motiveringar och resonemang är överlag mycket svaga, och saknas i många fall helt. De flesta elever behöver skriva mycket mer löpande text, och vissa elever skulle vinna på att producera ett mer linjärt textflöde. Det är mycket bättre att använda ett extra blad papper än att göra läsaren osäker på i vilken ordning textblocken ska läsas.
Presentation av figurer kan också vara en svårighet. Tävlingsinstruktionerna säger “Skriv läsligt.”. Det är inte ovanligt med figurer som är alltför små, och/eller där symboler lagrats ovanpå varandra. Många gånger vore det att föredra att ha enklare, tydligare figurer där färre saker presenteras i figuren (ofta räcker det att namnge de viktigaste punkterna), och att presentera övrig information i löpande text och ekvationer.
Elevernas uppdrag är att presentera ett tydligt och korrekt resonemang, som förklarar *varför* påståenden gäller, och som är lätt att följa hela vägen till en korrekt lösning. I värsta fall kan inga poäng alls delas ut trots att rätt ekvationer skrivits ned och lösts, när det inte finns någon förklaring till varför dessa ekvationer är korrekta beskrivningar av problemet.

Vanliga fel:

Många missförstår problemet, typiskt på ett av tre sätt, där ingetdera kan ge några poäng: a) Missförstår “parvis” och placerar enhetscirklarna efter en linje - den första och den andra tangerar varandra, den andra och den tredje tangerar varandra, men den tredje och den första tangerar inte varandra - “parvis" betyder att alla tre par tangerar varandra. b)Missförstår “på en cirkel”, inte bara som “i en cirkel” utan som att cirkeln C är den minsta cirkeln som innesluter de tre enhetscirklarna (ibland i kombination med det föregående, så det är inte, eller inte alltid, missförståndet att även C ska tangera de andra cirklarna). c) Missförstår problemet och antar att även C har radie 1.
Några elever ritar en figur, och övergår till att mäta med linjal och beräkna arean från dessa närmevärden till längderna. Detta kan naturligtvis inte heller ge några poäng.
Att aldrig påpeka att triangeln är liksidig. Enklast görs detta genom att skriva i text “Triangeln ABC är liksidig med sidan 2.”, alternativt i ekvationer “AB = BC = AC = 2”, eller motsvarande för vinklar. Det går att presentera detta i en figur, men då måste *alla tre* sidor eller *alla tre* vinklar vara måttsatta.
Att aldrig fastställa var cirkeln Cs mittpunkt ligger. Den är skärningspunkten för triangelns tre höjder/bisektriser/medianer/mittpunktsnormaler. Detta är återigen lätt att säga i text, och svårt att tydligt kommunicera i en figur. I många fall finns bara radier inritade från mittpunkten till hörnen - att bara rita dessa radier är inte tillräckligt. Inte heller är det tillräckligt att rita *en* höjd - för en skärningspunkt krävs minst två...
Många har gjort misstag när de använder Pythagoras sats för att beräkna längden av triangelns höjd. Typfelet är att skriva h^2 = 1^2 + 2^2 istället för 2^2 = 1^2 + h^2, det vill säga att blanda ihop hypotenusan med den längre kateten. (Några elever har också använt Pythagoras sats utan att peka ut någon rät vinkel - i några fall har det blivit avgörande i en sammantagen poängbedömning av ett svårtytt lösningsförsök.)
Många har, oftast efter att korrekt ha beräknat triangelns höjd, gjort felaktiga antaganden om Cs radie. Vanligast är att utan förklaring felaktigt anta att radien är halva höjden, men andra värden förekommer.
Algebran, speciellt kvadreringsreglerna, skapar problem för ett fåtal elever. Några elever vill gärna ersätta kvadratrötter med approximationer med en eller två decimaler - detta tenderar att göra arbetet svårare snarare än lättare (och ger ibland förvånansvärt stora approximationsfel).
Till vår stora förvåning har mer än en elev använt pi = 3. Det är enstaka exempel, men det är överraskande att det alls förekommer.

Snittpoäng bland alla skrivande: 0,28. Snittpoäng för kontrollrättade elever: 0,72.

Uppgift 5

Många resonemang är här mycket svåra att följa. Detta har lett till en stor nedrättning jämfört med lärarrättningen på problemet (i snitt närapå 1 poäng för de inskickade eleverna).
De flesta elever har korrekt intuition för vilken metod som bör vara bäst respektive sämst. Detta behöver dock visas matematiskt.
Ett vanligt fel är att beräkna sannolikheten för vinst i (a) felaktigt (både 75 % och 11/12 är vanliga). Detta kan inte ge full poäng.
Vissa elever konstaterar korrekt att de olika strategierna är ekvivalenta till och med omgång 2, och att det bör vara "bättre" att dra fler bollar i omgång 3, vilket ger att (b) är bäst och (c) sämst. Det som saknas här är ett argument för varför inte t.ex. (a) och (b) är lika bra. Om det hade funnits ett fjärde alternativ där man drar 4 bollar i omgång 3, hade detta trots allt inte varit bättre än strategi (b) (utan bara lika bra).

Snittpoäng bland alla skrivande: 1,12. Snittpoäng för kontrollrättade elever: 1,32.

Uppgift 6

Många räknade ut att om Lotta först får 5 klavar får hon 40 chokladmynt och att hon då äter sitt sista mynt på en fredag. Detta undviker helt poängen med problemet och ger därför 0 poäng.
Överlag kan ett resonemang som endast baserar sig på ett (eller enstaka) specialfall inte ge några poäng. Ett visst generellt resonemang krävs för att poäng ska kunna delas ut.
Ett försök till generellt resonemang, enligt en i princip framkomlig väg, som inte baserar sig på någon specifik ordning, har givit 1-2 poäng beroende på kvalitén på resonemanget.
För full poäng krävs en komplett lösning med faktiskt vattentäta argument.

Snittpoäng bland alla skrivande: 0,47. Snittpoäng för kontrollrättade elever: 0,57.